江戶少女解開數學難題，算額展示出平民對知識的探求

【系列專題第1篇：《「和算」：在太平盛世蓬勃發展起來的日本數學》】

岐阜縣大垣市的明星輪寺至今還保存了江戶末期的算額。該算額上記錄了兩位女性和一位少年解開的數學問題。這是和算參與者不僅僅是成年男性，還有女性和兒童積極參與其中的一個重要證據。

明星輪寺的算額（深川英俊攝影）

明星輪寺的算額上記載的少年少女

明星輪寺的算額由「淺野孝光的學生淺野源十郎等人」於1865年奉納。該算額上記載的第3個問題由名為「河合澤」的少女解開，當時的她只有16歲。下面是和算及算額研究家、曾榮獲保加利亞科學院博士學位的原高中教師深川英俊對該問題的解說及答案。

明星臨寺的算額上記載著河合澤所解數學問題的擴大版

河合澤解開的數學問題

「如圖，圖中的直線上有1個橢圓，且有紅、藍、黃、白4色的圓與此橢圓相接，其中的紅白圓分別位於橢圓的兩側並相接。當藍圓直徑最大時，求黃圓的直徑。（該圖基於深川的解說繪製，算額上的原圖橢圓不是很精確，看起來可能有所不同，但與算額上的問題是一致的）。答案是：將藍圓的直徑放在算盤上除以3。」

深川說：「算額原圖最上方的白圓，當藍圓最大時會消失，因此不應繪出，但答案是正確的。該題的難度相當於現代大學數學專業水準，16歲的少女能解答如此複雜的問題，確實令人驚歎。」此外，算額上向右數的第6個問題是由名為「奧田津」的女性解開（年齡不詳），第10個問題由15歲的少年「田邊舍次重利」解開。雖然令人遺憾的是我們不知道他們的具體經歷，但也可以得知，與成年男性一道，一些女性和少男少女們也在鑽研和算，而且實力得到認可，名字也被列入到算額之中。

女性也參與解高次方程式的算額

事實上，這種現象並非大垣市獨有。下圖的算額是岡山市北區的惣爪八幡宮內保存的算額，由當地演算法塾的門人於1861年奉納。據深川稱，畫面中央坐著的是老師，弟子們在老師的指導下使用算盤和算木正在解高次方程式。弟子中還包括兩名梳著日本髮型的女性和注視算盤的少年。左下角還畫了1名擤鼻子的武士，頗具趣味。

畫中的屏風兩側寫有以下3個問題：

① 求面積為85000的正方形的邊長
② 求邊長分別為10、17、21的三角形內接圓的直徑
③ 求體積為1881676371789154860897069的立方體的邊長

現代解法：

① x²;-85000=0，答案為291.5…
② 使用海龍公式（求得三角形面積S，再通過公式r = 2S/(a+b+c)求出內接圓半徑，答案2r=7
③ x³;-1881676371789154860897069=0，答案x=123456789

問題2的海龍公式是已知三角形的邊長分別為a、b、c，求面積S的公式，即S=√(s(s-a)(s-b)(s-c) )，其中s=(a+b+c)/2。這是現代高中課程教授的內容，當時的和算家們已掌握這個公式。

少年和女性們與武士們一起挑戰這些數學問題，使用海龍公式、算盤和算木解決面積和位數非常多的複雜的三次方程，可以說這些算額記載的故事非常珍貴。

《算法少女》，或由醫生的女兒編撰

提到《算法少女》，你會想到什麼？有些人可能讀過小說或漫畫，但它的原作是一部大約250年前，即1775（安永4）年在江戶出版的3卷本和算書。作者自稱壺中隱者，在序文中寫道：「我是來自大阪的醫生，這本書是我口述的算術，由女兒平章子整理成書。所以，我想書名中使用『少女』一詞應該是恰如其分的吧。」

活躍在那個時代的和算家會田安明在某篇文章中提到過該書，據他說，他確認了該書作者的實名為千葉桃三，出身於大阪，是居住在江戶的一名醫生，也是關流（關孝和流派）秘訣皆傳的和算愛好者。

《算法少女》下卷的版权页（图片：国立国会图书馆数字档案馆）

讓我們看看該書的內容。東大寺學園的前中學數學教師和算研究家小寺裕在《和算書‹算法少女›解讀》（築摩學藝文庫）一著中進行了詳細介紹。

《算法少女》的開篇介紹了計算圓周率的方法。首先，通過內接正多邊形來近似計算的方法，將多邊形的邊數由4、8、16、…不斷增加，當達到正10萬餘（！）多邊形時，便能得出圓周÷直徑＝355/113=3.14159202…。然而，即便如此，也仍不夠精確，所以在書末傳授了用秘術的無窮級數的表示方法，有那麼一點釣讀者口味的感覺。

即使在今天圓周率仍被作為衡量超級電腦性能的標準之一，當時的和算家也將其視其為重要課題，因此有必要在書的開頭談論圓周率，以彰顯自己的數學技能。之後，書中還提到了包括等比級數、三角形與內接圓、五次方程式、分數的最小公倍數、組合等各類問題都用日文和漢文詳細記錄，共有數十道題目，持續到下卷。

小寺審閱了所有問題，分析指出和文問題大多為初級，漢文問題多為中級以上。雖然書中存在一些數學錯誤，但也超出了一般和算書的範圍。那麼，將其整理成書的「章子」到底是一個什麼樣的少女呢？遺憾的是，除了這本書之外，再無任何線索。小寺表示，會田安明也沒有提及過，所以也有人認為她是一個虛構的人物，這至今仍是個未解之謎。圍繞著「算法少女」這一本書，會田對千葉桃三評價頗高，但與他同時代的勁敵、和算家藤田貞資卻對此書進行了情緒化的激烈批評，甚至為此專門撰寫了《算法少女之評》一書。這個神秘的「少女」加劇了兩人之間宿怨的升溫。

「少女」在小說中大顯身手

受這些歷史事實的啟發，作家遠藤寬子將「少女」賦予生命，寫成了小說。與和算書同名的小說《算法少女》於1973年由岩崎書店出版，2006年由筑摩學藝文庫再版。小說中，主角「阿秋」是醫生之女，受父親指導學習算術的設定與原作相同。小說描述了她指出一名傲慢的和算道場的年輕武士在算額中的錯誤，為貧困孩子們開設了教授九九乘法口訣等數目計演算法的課堂等情節。

為了創作這部小說，遠藤廣泛查閱數學史書籍，聽取專家的數學解釋，了解當時日本的數學背景等等，做了詳盡的準備。從這個意義上來講，這本小說對了解江戶中期的人們如何跟和算打交道極具價值。小說還被秋月Meguru繪成漫畫版，並於2012年由出版社LEED出版。此外還在2015年被拍成動畫片，由外村史郎執導，製作工房赤之女王企畫製作。

受江戶時期和算書《算法少女》啟發的小說《算法少女》（筑摩學藝文庫）及其漫畫版（LEED社）

搬上電影院的動畫片《算法少女》的海報（SPIRICO提供）

再看看少年們的卓越表現吧。根據深川的《通過例題了解日本的數學與算額》（森北出版），確認了在現存的算額和記錄文獻中，來自岡山縣、京都府、滋賀縣、岐阜縣、東京都、千葉縣、群馬縣的9-15歲的15個少年的名字。尤為引人注目的是其問題達到了大學生水準以上。深川認為，算額通常不寫年齡，但特別標註就是為了激勵年輕才俊。

德國研究人員倍感驚訝

自2023年4月起，Antonia Karaisl博士作為早稻田大學高等研究所的副教授，開始在日本研究算額，她專攻哲學與科學的相關歷史。她對大航海時代基督教傳教士在宗教之外所傳播的東西進行了探尋，尤其是對歐幾里得幾何學。她試圖尋找歐幾里得幾何學如何在日本傳播開來，卻發現並沒有相應的線索。這讓她感到奇怪，經過調查，她才得知這是因為日本在數學上獨立發展出了自己的體系。

Antonia Karaisl博士（筆者攝影）

在閱讀了深川英俊和Tony Rothman合著的《神聖的數學：算額》（英文版、普林斯頓大學出版）等和算關聯的書籍後，她確信和算與算額的發展不僅僅依賴於專家，還包括普通民眾組成的「人際合作網」。

「這樣的『人際合作網』在西方是不存在的。而在日本，農民、孩子和女性都是其中的參與者，且持續了250多年。你能相信嗎？」

Antonia Karaisl博士決心來日本親眼見識並研究算額，便成功應聘了早稻田大學高等研究所的公開招募，當時敲開大門的研究主題就是「日本的算額與歐幾里得幾何學：切線或平行線的歷史？」（「Japanese sangaku and Euclidean geometry: A history of tangents or parallel lines?」）。

研究任期為3年。她四處奔忙收集有英語解說之類的算額資料，希望將這一傳統介紹給全世界的研究者。她與深川會面，並獲得了他提供的算額照片和相關資料。她還訪問了長崎縣、岩手縣、三重縣等地，當然也查看了明星輪寺的算額。Antonia Karaisl博士發表感想說：

「女性、少年和少女們與男性一起投身於知識探索的作品是美麗的。這些作品讓我非常感動。」

標題圖片：惣爪八幡宮的算額（深川英俊攝影）