「和算」：在太平盛世蓬勃發展起來的日本數學

2023年9月的一個週末。筆者在岐阜縣的大垣車站與美國東北部緬因州貝茲學院的數學教授Peter Wong會合。我們此行的目的是參觀位於大垣市的明星輪寺的「算額」（Sangaku，即算術牌匾——譯註）。

算額是破解「和算（江戶時代發展起來的日本獨自的數學）」的難題後，作為證據和紀念供奉在寺廟和神社中的「繪馬」。它與古文書一樣，講述了日本算學發展的足跡，是珍貴的歷史文獻，這樣的繪馬日本國內現存約1000枚。作為拓撲學（Topology）專家的Peter Wong教授，同時也熱衷於算額的研究。這是他第7次訪日，在約3週的停留期間裡參觀了各地的算額，並與和算研究家會面交流。

實際上，像Peter Wong教授這樣被和算與算額吸引的外國研究者並不在少數。和算之所以如此迷人，其背景可歸結為3個特點，即「獨特而高水準」、「婦女兒童也是參與者」及「覆蓋城市和農村」。

「6球連鎖定理」——寒川神社的算額領先了100多年

權威科學雜誌《自然》（Nature）在1936年的第138期上刊登了英國化學家Frederick Soddy的一首詩《六球鏈》（The Hexlet）。標題中的「hex」意為「6個」，「let」意為「小東西」，這是所謂「6球連鎖定理」的初次亮相，該定理後來便以他的名字命名。

為了確保正確無誤，在此我將引用和算研究者、獲得保加利亞科學院博士學位的前高中數學教師深川英俊和曾在哈佛大學等校任教的理論物理學家Tony Rothman合著的《神聖數學：算額》（森北出版），介紹該定理的內容及其發現的過程。

該定理指出「當1個球體中有2個相互外接的球體內接時，由不同半徑的球體組成的項鍊能夠連接並進入這些間隙的數量恰好限制為6個。此外，每個球體的半徑之間存在著1/r₁+1/r₄=1/r₂+1/r₅的關係」。

作為一名研究離子鍵的化學家，Soddy對在一個大圓內可以鋪設多少個半徑不同的圓柱或圓圈的「填充問題」很感興趣。他與紐西蘭出身的物理化學家Ernest Rutherford一起通過放射性衰變發現了元素的嬗變，並因發現同位素而在1921年獲得諾貝爾化學獎。由於Soddy的知名度，該定理通常被稱為「Soddy6球連鎖定理」。

圍繞相互外接的內接球a和b的圓鏈剛好有6個，並且完全相連

對日本各地算額進行調查的深川先生表示，寫有完全相同內容的算額在1822年被奉納在相州（現神奈川縣）的寒川神社。奉納者是入澤新太郎博篤，他是近江/日野商人的後裔，經營「日野屋」，主要從事漢方藥材、茶葉和棉織品的生意，同時也學習和算。雖然入澤的算額已經失傳，但他的恩師、和算家內田五觀在記錄弟子們的算額的《古今算鑒》（1832年刊）一書中記載了該內容。

根據《古今算鑒》的記錄，寒川神社復原並在展示的算額（筆者攝影）

算額的6球連鎖對應的頁面是從京都大學理學研究科數學教室圖書室所藏的《古今算鑒》數位檔案中摘錄並轉載的。右頁的第5行以「今有」開頭的是問題、答案和解釋。

京都大學理學研究科數學教室圖書室所藏的《古今算鑒》數位檔案

根據深川的現代譯文，算額的問題是「如圖所示，在外球內安放兩個相互外接的球（日球和月球），並在它們之間的空隙中形圍出一圈相互連接的球鏈。如果外球的直徑是30寸，日球的直徑是10寸，月球的直徑是6寸，甲球的直徑是5寸，求解其他球的直徑」。在答案中，依次給出了從甲球之後的第2個乙球到第6個己球的數值，並寫道「從第7個球開始又回到了原來的數值，所以停止」。這正是6球連鎖定理本身。

這意味著，日本商家的一個老闆超前一個多世紀得出了一個定理，而這個定理是一位諾貝爾獎獲得主的探索和發現的定理之一。這可以說是一種超越業餘愛好的好奇心。和算成立也正是得益於這些「平民」的智慧能量的支撐。

「算聖」關孝和：早於萊布尼茲提出「行列式」概念

在討論和算時，關孝和是絕對無法忽視的。他繼松尾芭蕉的「俳聖」和千利休的「茶聖」之後，被稱為「算聖」，是和算界的頂尖人物。他是一位武士，生於1640年左右，卒於1708年，與將微積分系統化的英國人艾薩克·牛頓（1642-1727年）和德國人哥特弗利德·萊布尼茲（1646-1716年）生活在同一時代。他長期以來一直擔任甲府藩的會計，可以說是一位數學專家。

他不僅為代代相傳遺留下來的和算問題提供了解決方案，還取得了許多成就，最引人注目的是引入了「行列式」概念和發現了「白努利數」。關生前出版的唯一一部著作是《發微演算法》，但他的成就還被記錄在他去世後弟子們編輯出版的《括用演算法》（4卷，1712年）以及大量手稿中。

關孝和將和算中的問題和方程式分為3類：「解見題」、「解隱題」和「解伏題」，並分別介紹了解題方法。「解見題」是通過算術（加減乘除）計算來解決的問題；「解隱題」是只有一個未知數的方程；而「解伏題」是有兩個以上未知數的聯立方程。其中作為解伏題的解法而設計的被稱為「交式」和「斜乘」計算方法就是「行列式」的展開法。關孝和在1683年公開了該方法。

另一方面，據說萊布尼茲在1693年寫給法國數學家紀堯姆·德·羅必達的信中寫下了關於行列式的一些見解，但其具體內容不詳。法國數學家Pierre Frederic Sarrus在其1846年的著作中首次在西方發表了與關孝和的計算方法相同的3階行列式。這樣看來，在提出行列式概念方面，關孝和比萊布尼茲至少早了10年。

即使是「數學很差！」「不會做聯立方程！」的人，如果看到這張圖，也會理解關孝和為何會稱為算聖。日本學士院所藏的講解「解伏題」的「交式」「斜乘」之頁的圖解，與現代數學教科書中所記載的Sarrus method竟然一模一樣。

行列式的擴展方法

雖然我們不想陷入「早於」「晚於」的爭論，但筆者還是要再列舉一個關孝和「勝出」的例子。那就是「白努利數」。粗略地說，你可以把它們看作是一組特殊的數位，用於求出加法的答案，如1+2+3+…，或1²+2²+3²＋…、或1³+2³+3³+…、或1^k＋2^k＋3^k＋…的和。

白努利數現在不僅用於求加法答案，還涉及數學的許多其他領域。1713年，瑞士數學家雅各·白努利（Jacob Bernoulli）在其著作《推測術》（Ars Conjectandi）中推廣了這組數字，因此被稱為「白努利數」。

關孝和也發現了相同數的陣列，並在上述提到的「括用演算法」一書的「朶積術」中做了介紹。這意味著，關孝和比白努利提前了1年。

在江戶幕府奉行的閉關鎖國政策，日本與世界其他地方很少接觸的時代，關孝和與白努利居然使用相同的方法求得正解，研究史料這一事實便一目了然。

摘自《括用演算法》（國立國會圖書館數位館藏）的《朶積術》和《Ars Conjectandi》（網際網路檔案館藏）

解高次方程計算出10位數的圓周率

除了上述成就外，關孝和和後來的和算學家還獨立地探索到許多數學真理，或比西方數學早，或比西方數學晚。比如「笛卡爾圓定理」「馬爾法蒂定理」「泰勒展開」「圓周率的計算」「高次方程的近似解」等。特別是在圓周率方面，關孝和的高徒建部賢弘計算到了小數點後41位。據說在和算學家中也有人得出了高次方程的近似解，如1458次方程的解。這些計算都得益於他們能夠充分利用被稱為「算盤」加「算木」的「電腦」。

將3-5公分的「算木」放置在「算盤」的方格內用以表示數字。圖片上表示的數字是19376（深川英俊攝影）

在日本有一種成見，人們普遍認為「和算」只是小學水準的算術，因此筆者列舉了一些「先行事例」，以期打破這種成見。但我更想讓人們知道的是，在一個封閉的國度裡，人們透過對數學的熱愛和鑽研使之得以發展。開篇提到的Peter Wong教授是華裔，他關於和算發展的評論讓我印象深刻。

「看看中國和亞洲的其他國家吧。沒有哪個地方像日本一樣，在長達260年的時間裡，普通百姓沒有被捲入戰爭。值得慶幸的是，日本人因此能夠專注於發展自己的文化。」

福井縣鯖江市石部神社展示的算額，問的是人均飲用的花見酒量

標題圖片：Peter Wong教授在研究明星輪寺的算額