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Une école de mathématiques pour tous
Quartier de Funehiki, ville de Tamura, dans la préfecture Fukushima, au nord-est du Japon. Dans ce paysage idyllique qui alterne entre rizières et montagnes, une école de wasan (axée sur l’approche de l’apprentissage des mathématiques observée autrefois au Japon) a prospéré de la fin de l’époque d’Edo (1603-1868) à l’ère Meiji (1868-1912). Près de 2 000 élèves se sont succédé sur les bancs de cette établissement, qui était dirigé par le mathématicien Sakuma Yôken (1819-1896) dont l’étude privée existe encore aujourd’hui.
Un panneau indique le chemin vers l’ancienne étude de Sakuma Yôken. En arrière-plan, des rizières à perte de vue.
Sakuma Yôken, de son vrai nom Sakuma Tsuzuki, est né en 1819. Enfant de la balle, il embrassa la même profession que son père, Tadasu, également un mathématicien wasan. Ce dernier initia très tôt son fils à la discipline. Entre 18 et 21 ans environ, Sakuma Yôken étudie avec Watanabe Kazu, un mathématicien wasan de l’école de Saijô, située à Nihonmatsu, à une vingtaine de kilomètres au nord de la ville de Tamura.
Les Sakuma étaient l’une des familles d’agriculteurs les plus aisés de la région, et Tadasu, également élève de Watanabe Kazu, enseignait les bases du calcul aux fermiers locaux et à leurs familles. Après le travail, Sakuma Yôken allait presque chaque jour à Nihonmatsu, où il étudiait le soir avant de revenir au petit matin. Ce dévouement commun père et fils pour les mathématiques a fait de la région une terre sacrée pour le wasan au cours du XIXe siècle, du jamais vu ailleurs dans l’Archipel.
Selon le Conseil d’éducation de Tamura, Sakuma Yôken a écrit ou édité plus d’une centaine de livres et de manuels scolaires de wasan, dont Wasan kyôjuhô (« Pédagogie du wasan ») et Tôyô sanpô (« Méthodes de calcul à usage quotidien »). Au cœur de son œuvre, on trouve ce qu’on appelle aujourd’hui des « textes d’exercices », où le lecteur apprend en résolvant des problèmes. Il est l’auteur de plus d’un millier de problèmes sur des sujets extrêmement variés : les quatre opérations arithmétiques de base, les techniques d’utilisation du boulier, les méthodes d’extraction des racines carrées, les calculs de volumes, les séries et le calcul des intérêts pour n’en citer que quelques-uns.
« Le respect de la relation maître-disciple est de mise »
Peut-on dresser un portrait des anciens disciples de Yôken ? J’ai eu la chance de consulter les registres des élèves, désormais classés Trésor culturel par la ville de Tamura, grâce à l’aimable générosité de Sakuma Motomu, l’arrière-petit-fils de Yôken. Il cultive la même terre que ses ancêtres tout en préservant l’étude de son arrière-grand-père et le matériel de l’école. Dans ces registres, on apprend que la plupart des élèves de l’école étaient des fermiers ou des marchands de Funehiki ou de la ville voisine de Miharu. Près d’un dixième des noms recensés sont des femmes. Il existe quatre registres en tout, assorties d’annotations sur le nombre d’étudiants depuis l’époque de Tadasu, le père de Yôken. Il y avait ainsi plus de 2 100 étudiants au total.
Sakuma Motomu montrant des photographies de son arrière-grand-père Sakuma Yôken. La photo de droite montre Yôken jeune, et l’autre dans ses dernières années.
Les registres des élèves conservés par la famille Sakuma. Tout à droite, on peut lire le nom féminin « Toku ».
Nakazawa Ichio, de la « Société de préservation des wasan de Sakuma Yôken », explique que l’école de Yôken était en fait un gijuku, c’est-à-dire un établissement qui acceptait les élèves quelle que soit leur classe ou leur sexe. La condition sine qua non était une soif de connaissances, rien d’autre. Ceux qui étaient acceptés scellaient l’accord d’inscription avec leur propre sang. Le texte de l’accord comprenait des avertissements tels que : « Le respect de la relation maître-disciple est de mise, les moqueries des succès ou des échecs des autres sont interdites, la vantardise de ses propres capacités est prohibée. »
Nakazawa Ichio (à gauche) assis devant le bureau de Yôken avec l’arrière-petit-fils du mathématicien, Motomu. Au cours des décennies précédentes, le bâtiment comportait un dortoir attenant.
Des plaques en bois pour célébrer la résolution de problème
Les prouesses en mathématiques de Yôken lui valurent le statut de samouraï et une place en tant que professeur à l’école de la classe guerrière du domaine de Miharu. Après la Restauration de Meiji en 1868, il a été temporairement impliqué dans la topographie en tant que fonctionnaire de la préfecture d’Iwasaki (une préfecture de courte durée, concentrée sur la région côtière de Hamadôri de l’actuelle Fukushima). Nombre de ses élèves sont devenus géomètres à leur tour. Le projet du canal d’Asaka, à l’origine de l’irrigation des champs du même nom à Kôriyama, que l’on croyait des terres non fertiles, avec l’eau du lac Inawashiro à l’ouest, est souvent attribué au superviseur du projet, le topographe néerlandais Cornelis Johannes van Doorn, mais ce sont des élèves de Yôken comme Itô Naoki dont les mesures minutieuses du site ont en grande partie contribué au succès du projet.
Existe-t-il un sangaku (cette plaque de bois que l’on accroche dans un temple pour célébrer une solution à un problème mathématique) écrite de la main de Yôken ? Selon Nakazawa Ichio, oui, en 1837, à l’âge de 19 ans. Il s’agissait d’un problème impliquant des cercles et un triangle. Le sangaku se trouvait dans la salle Kannon du temple Tôdôsan Manpuku-ji (ville d’Ono, préf. Fukushima). Malheureusement, la plaque a été perdue dans un incendie, mais il en reste des traces. Elle montre une manière plus simple de résoudre le problème que celle décrite sur un sangaku antérieur.
Sur le sangaku disparu, Yôken avait inscrit ce diagramme et la solution du problème. (Photo avec l’aimable autorisation de Nakazawa Ichio)
Plusieurs sangaku accrochés dans des sanctuaires et des temples de la préfecture par des étudiants de Yôken ont pu être conservés. Deux d’entre eux, provenant des temples Akitasan Ryûon’in (à Tamura) et Kobiragata Tenman-gû (à Inawashiro), sont particulièrement en bon état (voir ci-dessous).
En haut : le sangaku au temple Akitasan Ryûon’in (affiché en 1893) En bas : le sangaku au temple Kobiragata Tenman-gû (affiché en 1885).
Les six grands voyages de Sakuma Yôken
Par ailleurs, il convient d’évoquer les nombreux voyages entrepris par Yôken pour approfondir ses connaissances en mathématiques. Si Paris était la « capitale des arts » ou Vienne la « capitale de la musique classique », le wasan n’en avait pas. On trouvait des maîtres de wasan dans tout le Japon, si bien que de nombreux mathématiciens, avides de connaissances ont parcouru le pays en participant à des « concours inter-écoles » (taryûjiai) ou en suivant un « entraînement de guerrier » (musha shugyô) dans des écoles et des dôjôs renommés. Même le professeur de Yôken, Watanabe Kazu lui-même, a relevé un défi lancé par le célèbre mathématicien Aida Yasuaki.
Watanabe Kazu avait alors 22 ans. Aida Yasuaki avait entendu parler de ce jeune mathématicien prometteur. Quittant la capitale, Edo, Watanabe se rendit à son école, alors qu’il était en route pour Yamagata, sa ville natale. Aida ne tarda pas à mettre le jeune prodige à l’épreuve, lui posant des problèmes difficiles utilisant des équations d’ordre supérieur. Commença alors un échange ; Watanabe résolut les problèmes et en posa à son tour à Aida. Mais le jeune homme avait du mal à admettre qu’Aida trouvait les bonnes solutions. Il chercha des erreurs, mais en vain. Reconnaissant les aptitudes de son pair, Watanabe devint le disciple d’Aida.
D’après les recherches de Nakazawa Ichio, Sakuma Yôken a effectué six grands voyages :
- Un pèlerinage aux sites sacrés du mont Katta et de l’île Kinkasan près de Sendai (Miyagi) (1840).
- Un pèlerinage à Ise, Kumano, aux 33 Kannon de Shikoku, au mont Konpira et au temple Zenkô-ji (1842).
- Un pèlerinage au mont Fuji (1844)
- Une formation en mathématiques à Yamagata (1846)
- Une formation en mathématiques à Amakusa (Kumamoto) (1858)
- Une formation en mathématiques à Sakata (Yamagata) et Echigo (Niigata) (1862)
Yôken s’est également rendu à plusieurs reprises à Edo. Ces voyages semblent s’expliquer par son intérêt pour les sangaku exposés dans différents temples et sanctuaires, ainsi que par sa forte croyance en Kannon. Dans tout le Japon, sur les sites dédiés à Kannon, il a prié pour que le bodhisattva de la compassion lui apporte son aide dans sa quête d’une plus grande maîtrise des mathématiques, et n’a pas manqué de lui exprimer sa gratitude pour les progrès qu’il avait accomplis.
Nakazawa trouve le cinquième voyage de Yôken particulièrement intriguant. Son périple jusqu’à Kyûshû (sud-ouest) a duré cinq mois, du neuvième mois de 1858 au deuxième mois de l’année suivante. Yôken lui a consacré pas moins de six volumes de son journal ; des événements aux rencontres avec d’autres mathématiciens wasan. Les noms de trente-six d’entre eux sont mentionnés, mais pour Nakazawa, c’est bien son séjour à Nagasaki qui est au cœur de ces voyages. Yôken a passé douze jours à Nagasaki, plus longtemps que tout autre endroit qu’il a visité au cours de ce voyage. Mais plus que tout, ce voyage lui a permis d’approfondir ses connaissances en mathématiques européennes, diffusées dans la ville par le biais du centre d’entraînement naval que le shogunat y avait établi, grâce à ses rencontres avec des mathématiciens locaux. De retour à Fukushima, Sakuma Yôken y consacre près de la moitié de ses heures de cours.
Mathématicien itinérant et star d’un manga ukrainien ?
Les maîtres de wasan qui voyageaient fréquemment comme lui, étaient connus sous le nom de yûreki sanka, « mathématiciens itinérants ». Yamaguchi Kazu était l’un des plus connus. Il est né vers 1780 à Suibara, actuelle ville d’Aagano, à Yamagata, mais il a étudié le wasan dans la capitale, Edo. Quelques décennies avant sa mort, lui aussi avait entrepris six grands voyages, parcourant l’Archipel du nord-est (région du Tôhoku), au sud (île de Kyûshû). Ses deuxième et troisième voyages durèrent respectivement un an et près de deux ans et demi. Tout comme Yôken, il évoque dans son journal les interactions avec les mathématiciens qu’il a rencontrés, ainsi que les nombreux sangaku qu’il a pu voir lors de ses périples. Beaucoup ont disparu, faisant de ces écrits une source inestimable pour les chercheurs. En revanche, quasiment aucun document n’est disponible sur Yamaguchi Kazu lui-même.
Ganna Mamonova à Kiev lors d’une interview en ligne (image avec l’aimable autorisation d’Abe Haruki)
Ganna Mamonova est une chercheuse ukrainienne qui a été invitée au Tsuji Lab (« Babylab ») du Centre international de recherche sur la neuro-intelligence de l’Université de Tokyo d’août 2022 à juillet 2023. Elle explore la possibilité de présenter Yamaguchi Kazu dans ses propres travaux.
Mamonova est professeure agrégée de mathématiques à l’Université économique nationale de Kiev, spécialisée dans les probabilités. Ses travaux de recherche portent notamment sur l’utilité des mangas dans l’enseignement des mathématiques. Au Babylab, elle a participé à la traduction japonaise de sa bande dessinée « Un nombre amusant de cas » (Tanoshii ‘“baai no kazu”). Elle s’est alors familiarisée avec les sangaku et le large public auquel ils s’adressent. C’est lorsqu’elle a lu Sacred Mathematics : Japanese Temple Geometry de Fukagawa Hidetoshi (titre original : Sei naru sûgaku : sangaku, traduction anglaise par l’Université de Princeton), qu’elle s’est intéressée à Yamaguchi Kazu.
Un extrait de la bande dessinée « Un nombre amusant de cas » (Tanoshii ‘“baai no kazu”) de Ganna Mamonova, dessins de Tatiana Denisenko (avec l’aimable autorisation de Ganna Mamonova)
La bande dessinée de Ganna Mamonova met en scène le brillant philosophe, mathématicien et physicien du XVIIe siècle, Blaise Pascal, dans son quotidien. Le lecteur est alors invité de façon ludique à découvrir le nombre de façons dont diverses choses peuvent être combinées. Ganna Mamonova consacrera sa prochaine bande dessinée à des mathématiciens japonais de l’époque d’Edo, avec Yamaguchi Kazu en tant que personnage principal.
« L’époque d’Edo était si paisible qu’il était simple de voyager pour étudier les mathématiques, ce qui est une chose précieuse » explique Ganna Mamonova. « À cette époque, on pouvait choisir d’être rationnel, et Yamaguchi Kazu symbolise cette pensée. J’aimerais aller à Kyoto et dans d’autres endroits que Yamaguchi Kazu a visités, pour en apprendre davantage sur ses voyages et son sangaku, ce qui me permettra de développer ma vision du livre. »
Jusqu’en 2022, Ganna Mamonova a vécu à Boutcha, ville qui la même année a été le théâtre d’un horrible massacre par l’armée russe. Elle est venue au Japon dans le cadre d’un programme d’accueil d’urgence de l’université de Tokyo destiné aux universitaires et aux étudiants fuyant le conflit. Elle est retournée en Ukraine, dans une zone relativement sûre, mais notre entretien a été réalisé en sachant qu’il serait immédiatement interrompu en cas d’annonce d’un raid aérien (à la date d’octobre 2023).
Ganna Mamonova explique que la bande dessinée traduite pendant son séjour au Japon sera utilisée par la maison d’édition éducative Gakken pour récompenser les donateurs qui ont soutenu son projet de financement participatif, pour la reconstruction des infrastructures éducatives détruites à Boutcha. « J’espère que nous recevrons le soutien de nombreuses personnes » confie Ganna Mamonova.
Une bataille de sangaku dans un temple de Nagoya
Pour finir, un mot sur un événement marquant de l’histoire du wasan. Ôsu Kannon à Nagoya, qui faisait alors partie du domaine d’Owari. Tout commence avec un sangaku accroché là en 1799 par un mathématicien qui vivait près du château de Nagoya. Selon Fukagawa, ce sangaku n’existe plus, mais le livre Kitano sankei (1812) mentionne de nombreux détails le concernant.
Le sangaku proposait le problème suivant : trois ellipses sont enfermées dans un seul cercle, touchant sa circonférence. Étant donné les longueurs des deux axes des trois ellipses, quel est le diamètre du cercle extérieur ? Un autre mathématicien a critiqué la réponse fournie, mais pour Fukagawa, cette critique était erronée. Un troisième mathématicien a donc posté un autre sangaku, la critiquant à son tour. Cependant, le diagramme de ce troisième sangaku était lui aussi partiellement faux, ce qui n’était pas pour améliorer les choses.
Des mathématiciens itinérants et même des amateurs commencent à s’intéresser à ce problème épineux. La réputation de l’école est en péril et des mots tels que « farce », « embarras » et « ridicule » fusent de toutes parts. La situation dépasse largement le débat académique, et s’engage alors une bataille par sangaku interposés qui durera pas moins de six ans au total. Malheureusement, il n’existe aucune trace du résultat final, mais le spectacle de cette querelle, avec en toile de fond le prestigieux temple Ôsu Kannon aurait captivé de nombreux amateurs. Là encore, un genre de divertissement que l’on ne trouve qu’en temps de paix.
Le temple Ôsu Kannon (© Pixta)
(Photo de titre : l’école de wasan de Sakuma Yôken et l’accord exigé des nouvelles recrues. Il est interdit de « rire des erreurs des autres » et de « se vanter de ses propres capacités ». Toutes les photos : © Abe Haruki, sauf mentions contraires)
