Las tablillas ‘sangaku’ y el desarrollo alcanzado por las matemáticas en el periodo Edo

Un fin de semana del mes de agosto de 2023, me reuní en la estación de Ōgaki (prefectura de Gifu) con Peter Wong, profesor de matemáticas del Bates College (estado de Maine, nordeste de Estados Unidos). Nuestro propósito era ir juntos al templo de Myōjōrinji para ver el sangaku que allí se guarda.

Los sangaku eran un tipo de ema (tablilla en la que se formula un deseo o se expresa la gratitud por su realización, que se cuelga de las ramas de los árboles) que, llevados como ofrenda a un templo o santuario, conmemoraban la resolución de algún problema de los que se planteaban en las matemáticas japonesas (wasan) del periodo Edo. De estas tablillas, que para conocer la historia del wasan son tan valiosas como los documentos escritos convencionales, se conservan en Japón más de 1.000 ejemplares. El profesor Wong, cuya especialización es la topología (rama de las matemáticas que trata especialmente de la continuidad y de otros conceptos más generales originados de ella, como las propiedades de las figuras con independencia de su tamaño o forma), es también un entusiasta estudioso de los sangaku. Era la séptima vez que visitaba Japón y durante sus cerca de tres semanas de estancia se desplazó a muchos lugares donde se conservan sangaku y se reunió con varios investigadores del wasan.

Pero Wong no es el único investigador extranjero que se ha sentido fascinado por el wasan y por los sangaku. Detrás de esa compartida fascinación están tres de las características más notorias del wasan: haber alcanzado un alto nivel siguiendo un proceso de desarrollo propio e independiente, haber sido practicado por un amplio espectro social que abarcaba a las mujeres y a los niños, y haberse propagado tanto por las zonas urbanas como por las rurales.

Más de un siglo anterior al teorema de Soddy

La prestigiosa revista científica Nature publicó, en su número 138 de 1936, un poema titulado The Hexle (El sexteto), obra del químico británico Frederick Soddy. Fue la primera manifestación de lo que poco después se convertiría en el “teorema de la cadena de seis esferas” o “teorema de Soddy”.

Dado que el tema requiere precisión, para explicar en qué consiste el teorema y exponer sus precedentes históricos nos atendremos aquí al libro Sei Naru sūgaku: Sangaku (“Las santas matemáticas: los sangaku”; editorial Morikita Shuppan), obra conjunta de Fukagawa Hidetoshi, un investigador del wasan que comenzó como profesor de matemáticas de un instituto de bachillerato y que ha recibido un doctorado de la Academia de las Ciencias de Bulgaria, y de Tony Rothman, físico teórico estadounidense que ha enseñado en Harvard y otras universidades.

El teorema afirma que “cuando dos esferas son tangentes exteriores entre sí y ambas son tangentes interiores a otra esfera que las contiene, siempre serán seis las esferas de diverso radio que pueden formar un collar en el espacio que dejan las dos primeras, estando los respectivos radios de las seis esferas del collar en la relación 1/r₁+1/r₄=1/r₂+1/r₅=1/r₃+1/r₆”.

Como químico que trabajaba con combinaciones de iones, Soddy se interesó también por los problemas de empaquetamiento, como el que plantea cuántas circunferencias de diverso radio podría contener una circunferencia mayor.

Junto al físico neozelandés Ernest Rutherford, Soddy fue una eminencia que descubrió la transmutación nuclear de los elementos producida por el decaimiento radiactivo y recibió el Premio Nobel de Química en 1921 por sus investigaciones sobre el origen y la naturaleza de los isótopos. En deferencia a ello, el citado enunciado se conoce también como el “sexteto de Soddy”.

Dadas dos esferas mutuamente tangentes exteriores (a y b) dentro de otra esfera más grande, el collar de esferas que las rodean dentro de la mayor deberá estar formado por seis unidades para que la concatenación sea perfecta.

Según Fukagawa, que ha recorrido todo Japón estudiando los sangaku, exactamente lo mismo puede encontrarse en una tablilla ofrendada en 1822 al santuario de Samukawa, en la antigua provincia de Sagami (actual prefectura de Kanagawa), por Irisawa Shintarō Hiroatsu. Nacido en una familia de comerciantes de Hino, en la antigua provincia de Ōmi, Irisawa cultivó el wasan mientras regentaba el negocio familiar de venta de ingredientes para la medicina tradicional china, té, tejidos de algodón y otros artículos. Aunque el sangaku ofrendado por Irisawa se ha perdido, tenemos noticia de él gracias al libro Kokon sankan (“Cálculos de ayer y hoy”, 1832), en el que su maestro, Uchida Itsumi, recogió los contenidos de las tablillas ofrendadas por sus discípulos.

Tablillas sangaku reconstruidas a partir de los datos que ofrece el libro Kokon sankan y expuestas en el santuario de Samukawa. (Fotografía del autor del artículo)

Ofrezco aquí una fotografía de la página del Kokon Sankan que contiene el problema de la cadena de seis esferas. El libro ha sido digitalizado por el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Kioto, a cuyo archivo pertenece. La explicación del problema comienza en la quinta línea vertical, a partir de la derecha, de la página de la derecha.

Versión digitalizada del libro Kokon Sankan, de la colección del archivo del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Kioto.

Según leemos en la adaptación al japonés moderno hecha por Fukasawa, en el planteamiento del problema se utiliza la medida de longitud sun (unos tres centímetros), asignándose un diámetro de 30 sun a la esfera exterior, de 10 a una de las dos tangentes interiores con esta y 6 sun a la otra. Suponiéndosele un diámetro de 5 sun a la primera de las esferas integrantes del collar o cadena, se trata de hallar los respectivos diámetros de las otras. Seguidamente se da la respuesta, asignándose los valores y explicando que la sexta esfera sería la última, pues con ella el collar quedaría cerrado.

Quiere esto decir que un simple comerciante japonés había llegado a la solución del teorema propuesto por un gran científico ganador del Premio Nobel adelantándosele, además, más de un siglo. La curiosidad que movía a Irisawa no se quedaba al nivel de un simple pasatiempo. Entre los pilares que sustentaban el wasan, como se ve, había una energía intelectual que emanaba directamente de los estratos populares.

Seki, el divino matemático que se adelantó a Leibniz

Un nombre que no puede obviarse al hablar del wasan es el de Seki Takakazu. Si Matsuo Bashō es el divino poeta de los haikus y Sen no Rikyū el divino maestro de la ceremonia del té, Seki es la gran cima del wasan y se ha ganado por ello el apelativo de divino matemático. Nació en torno a 1640 y murió en 1708. Fue un samurái coetáneo del inglés Isaac Newton (1642-1727) o del alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), sistematizadores del cálculo infinitesimal. Fue todo un profesional de los números que durante largos años llevó las cuentas del señorío de Kōfu.

Entre sus muchos méritos figuran los de haber resuelto algunos de los problemas planteados por practicantes del wasan de épocas anteriores, pero en el plano teórico hay que destacar, sobre todo, la introducción del concepto de determinante y el descubrimiento de los números de Bernoulli.

Aunque en vida solo publicó un libro, Hatsubi sanpō, su legado aparece en Katsuyō sanpō (1712, en cuatro tomos), editado por sus discípulos después de su muerte, y en las numerosas copias de sus escritos que se hicieron.

Seki clasificó los problemas planteados en el wasan en tres grupos y mostró los métodos por los que podían ser resueltos. Llamó kai kendai a la resolución de “problemas explícitos” que podía hacerse por medio de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, kai indai a la de los “problemas implícitos”, que pueden expresarse en forma de ecuaciones con una incógnita, y kai fukudai a la de los “problemas ocultos” expresados en sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas. Como métodos de solución de este último tipo de problema, propone el kōshiki y el shajō, equivalentes a la fórmula de desarrollo de los determinantes. Seki publicó este método en 1683.

En cuanto a Leibniz, se sabe que en una carta que dirigió en 1693 al matemático francés Guillaume de l´Hôpital le decía que se le había ocurrido la idea de los determinantes, pero poco más se sabe al respecto. En Occidente, el primer matemático en dar a conocer por escrito un método para calcular el determinante de una matriz de tercer orden (3 x 3) igual al de Seki fue el francés Pierre-Frédéric Sarrus, y lo hizo en el año 1846. Vemos, pues, que Seki introdujo el concepto de determinante al menos 10 años antes de que lo hiciera Leibniz.

Hasta aquellos que reconozcan que en la escuela las matemáticas no eran lo suyo y que los sistemas de ecuaciones les resultan incomprensibles podrán obtener una idea bastante clara de lo genial que era Seki si por un momento pasean la mirada por la fotografía que aparece abajo. El diagrama que aparece en la página del libreto Kai fukudai no hō (“Método de resolución de problemas ocultos”, colección de la Academia Japonesa) en la que se explican los métodos kōshiki y shajō, es idéntico a la fórmula de Sarrus que se enseña actualmente en los libros de matemáticas de las escuelas.

Método de desarrollo de determinantes.

Que Seki se adelantara en sus descubrimientos a los sabios occidentales es solo un aspecto de su legado y no conviene reducir el asunto a eso, pero se me permitirá, en todo caso, añadir un punto más en el que el divino matemático tiene la primacía. Me refiero a los números de Bernoulli, un conjunto de números muy especiales que se usa en fórmulas para hallar la respuesta a sumas como 1+2+3+…, 1²+2²+3²+…, 1³+2³+3³+…, o 1^k+2^k+3^k＋…. Hoy en día se sabe que estos números, además de ser útiles a la hora de hallar las respuestas a dichas sumas, tienen un papel en varios otros campos de las matemáticas. El nombre les viene del matemático suizo Jakob Bernoulli, que los divulgó en su obra Ars Conjectandi, publicada en 1713.

Pero Seki también se percató de la existencia de este conjunto de números y los presentó en la sección “Dasekijutsu” de la citada obra Katsuyō sanpō. Así pues, se adelantó un año al suizo.

Siguiendo ambas exposiciones, es fácil ver que Seki y Bernoulli adoptaron un mismo enfoque y llegaron a una misma verdad en una época en que la política aislacionista seguida por el bakufu (Gobierno shogunal) de Edo impedía cualquier intercambio o comunicación con otros países.

A la izquierda, la sección “Dasekijutsu” del libro Katsuyō sanpō (Colección Digital de la Biblioteca Nacional de la Dieta) y Ars Conjectandi (Internet Archive).

Ecuaciones de alto grado y decimales del número pi

En ocasiones adelantándose a los occidentales, en otras con algunos años de retraso, Seki y los matemáticos que lo sucedieron llegaron por sus propios medios a las mismas verdades matemáticas en otros muchos campos además de los referidos. Por hacer una simple enumeración, estaría el teorema de los círculos de Descartes, el teorema de Malfatti, la serie de Taylor, el cálculo del cociente entre la longitud de una circunferencia y la de su diámetro (número pi), la solución aproximada para las ecuaciones de alto grado, etcétera. Especialmente reseñable es el logro de Takebe Katahiro, aventajado discípulo de Seki, que halló 41 decimales del número pi. Entre los matemáticos japoneses de la época, hubo uno que se propuso encontrar la solución aproximada a una ecuación de grado 1458. Y todo ello fue gracias al uso de la peculiar computadora formada por el “tablero aritmético” (sanban) y las varillas numéricas (sangi).

Ejemplo de uso de las varillas numéricas sangi sobre el cuadriculado del tablero aritmético sanban. En este caso, las varillas marcan el número 19376. (Cortesía de Fukagawa Hidetoshi)

En Japón existe la equivocada idea de que el wasan apenas llegaba al nivel de la aritmética que se imparte en la escuela primaria. He señalado algunos de sus logros para deshacer esa idea. Pero lo que me anima en esta serie de artículos es el deseo de divulgar cómo, en un país tan cerrado como el Japón de la época, la gente desarrolló el saber matemático y disfrutó con sus avances. Me impresionó mucho cuando el citado profesor Wong, que es de origen chino, me dijo lo siguiente sobre el desarrollo alcanzado por el wasan: “Fíjate, por ejemplo, en China, o en otros países asiáticos. Allí nunca ha ocurrido, como en Japón, que la gente disfrutara de un periodo de 260 años sin verse involucrada en alguna guerra. Por suerte, los japoneses pudieron entregarse a la cultura”.

Tablilla sangaku del santuario de Isobe, en la ciudad de Sabae (prefectura de Fukui). El problema versa sobre el volumen de sake que beberá cada participante en el hanami (“contemplación de los cerezos en flor”).

(Traducido al español del original en japonés. Fotografía del encabezado: El profesor Peter Wong examina un sangaku conservado en el templo de Myōjōrinji.)