和算：在太平盛世蓬勃发展起来的日本数学

2023年9月的一个周末。笔者在岐阜县的大垣车站与美国东北部缅因州贝茨学院的数学教授Peter Wong会合。我们此行的目的是参观位于大垣市的明星轮寺的“算额”（Sangaku，即算术牌匾——译注）。

算额是破解“和算（江户时代发展起来的日本独自的数学）”的难题后，作为证据和纪念供奉在寺庙和神社中的“绘马”牌。它与古文书一样，讲述了日本算学发展的足迹，是珍贵的历史文献，这样的绘马牌日本国内现存约1000枚。作为拓扑学家的Peter Wong教授，同时也热衷于算额的研究。这是他第七次访日，在约三周的停留期间里参观了各地的算额，并与和算研究家会面交流。

实际上，像Peter Wong教授这样被和算和算额吸引的外国研究者并不在少数。和算之所以如此迷人，其背景可归结为三个特点，即“独特而高水平”、“妇女儿童也是参与者”及“覆盖城市和农村”。

“六球连锁定理”——寒川神社的算额领先了100多年

权威科学杂志《自然》（Nature）在1936年的第138期上刊登了英国化学家弗雷德里克·索迪（Frederick Soddy）的一首诗《六球链》（The Hexlet）。标题中的“hex”意为“6个”，“let”意为“小东西”，这是所谓“六球连锁定理”的初次亮相，该定理后来便以他的名字命名。

为了确保正确无误，在此我将引用和算研究者、获得保加利亚科学院博士学位的前高中数学教师深川英俊和曾在哈佛大学等校任教的理论物理学家托尼·罗斯曼（Tony Rothman）合著的《神圣数学：算额》（森北出版），介绍该定理的内容及其发现的过程。

该定理指出“当1个球体中有2个相互外接的球体内接时，由不同半径的球体组成的项链能够连接并进入这些间隙的数量恰好限制为6个。此外，每个球体的半径之间存在着1/r₁+1/r₄=1/r₂+1/r₅的关系”。

作为一名研究离子键的化学家，索迪对在一个大圆内可以铺设多少个半径不同的圆柱或圆圈的“填充问题”很感兴趣。他与新西兰出身的物理化学家欧内斯特·卢瑟福（Ernest Rutherford）一起通过放射性衰变发现了元素的嬗变，并因发现同位素而在1921年获得诺贝尔化学奖。由于索迪的知名度，该定理通常被称为“索迪六球连锁定理”。

围绕相互外接的内接球a和b的圆链刚好有6个，并且完全相连

对日本各地算额进行调查的深川先生表示，写有完全相同内容的算额在1822年被奉纳在相州（现神奈川县）的寒川神社。奉纳者是入泽新太郎博笃，他是近江/日野商人的后裔，经营“日野屋”，主要从事汉方药材、茶叶和棉织品的生意，同时也学习和算。虽然入泽的算额已经失传，但他的恩师、和算家内田五观在记录弟子们的算额的《古今算鉴》（1832年刊）一书中记载了该内容。

根据《古今算鉴》的记录，寒川神社复原并在展示的算额（图片：笔者）

算额的六球连锁对应的页面是从京都大学理学研究科数学教室图书室所藏的《古今算鉴》数字档案中摘录并转载的。右页的第5行以“今有”开头的是问题、答案和解释。

京都大学理学研究科数学教室图书室所藏的《古今算鉴》数字档案

根据深川的现代译文，算额的问题是“如图所示，在外球内安放两个相互外接的球（日球和月球），并在它们之间的空隙中形围出一圈相互连接的球链。如果外球的直径是30寸，日球的直径是10寸，月球的直径是6寸，甲球的直径是5寸，求解其他球的直径”。在答案中，依次给出了从甲球之后的第2个乙球到第6个己球的数值，并写道“从第7个球开始又回到了原来的数值，所以停止”。这正是六球连锁定理本身。

这意味着，日本商家的一个老板超前一个多世纪得出了一个定理，而这个定理是一位诺贝尔奖获得主的探索和发现的定理之一。这可以说是一种超越业余爱好的好奇心。和算成立也正是得益于这些“平民”的智慧能量的支撑。

“算圣”关孝和：早于莱布尼茨提出“行列式”概念

在讨论和算时，关孝和是绝对无法忽视的。他继松尾芭蕉的“俳圣”和千利休的“茶圣”之后，被称为“算圣”，是和算界的顶峰人物。他是一位武士，生于1640年左右，卒于1708年，与将微积分系统化的英国人艾萨克·牛顿（1642-1727年）和德国人戈特弗里德·莱布尼茨（1646-1716年）生活在同一时代。他长期以来一直担任甲府藩的会计，可以说是一位数字专家。

他不仅为代代相传遗留下来的和算问题提供了解决方案，还取得了许多成就，最引人注目的是引入了“行列式”概念和发现了“伯努利数”。关生前出版的唯一一部著作是《发微算法》，但他的成就还被记录在他去世后弟子们编辑出版的《括用算法》（4卷，1712年）以及大量手稿中。

关孝和将和算中的问题和方程式分为三类：“解见题”、“解隐题”和“解伏题”，并分别介绍了解题方法。“解见题”是通过算术（加减乘除）计算来解决的问题；“解隐题”是只有一个未知数的方程；而“解伏题”是有两个以上未知数的联立方程。其中作为解伏题的解法而设计的被称为“交式”和“斜乘”计算方法就是“行列式”的展开法。关孝和在1683年公开了该方法。

另一方面，据说莱布尼茨在1693年写给法国数学家纪尧姆·德·洛必达的信中写下了关于行列式的一些见解，但其具体内容不详。法国数学家比埃尔·费雷德里克·萨鲁斯（Pierre Frederic Saffus）在其1846年的著作中首次在西方发表了与关孝和的计算方法相同的三阶行列式。这样看来，在提出行列式概念方面，关孝和比莱布尼茨至少早了10年。

即使是“数学很差！”“不会做联立方程！”的人，如果看到这张图，也会理解关孝和为何会称为算圣。日本学士院所藏的讲解“解伏题”的“交式”“斜乘”之页的图解，与现代数学教科书中所记载的萨鲁斯法则（Sarrus rule）竟然一模一样。

行列式的扩展方法

虽然我们不想陷入“早于”“晚于”的争论，但笔者还是要再列举一个关孝和“胜出”的例子。那就是“伯努利数”。粗略地说，你可以把它们看作是一组特殊的数字，用于求出加法的答案，如1+2+3+…，或1²+2²+3²+…、或1³+2³+3³+…、或1^k+2^k+3^k+…的和。

伯努利数现在不仅用于求加法答案，还涉及数学的许多其他领域。1713年，瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在其著作《推测术》（Ars Conjectandi）中推广了这组数字，因此被称为“伯努利数”。

关孝和也发现了相同数的数组，并在上述提到的“括用算法”一书的“朶积术”（Daseki-jutsu）中做了介绍。这意味着，关孝和比伯努利提前了一年。

在江户幕府奉行的闭关锁国政策，日本与世界其他地方很少接触的时代，关孝和与伯努利居然使用相同的方法求得正解，研究史料这一事实便一目了然。

摘自（国立国会图书馆数字馆藏）《括用算法》的《朶积术》和（互联网档案馆藏）《Ars Conjectandi》

解高次方程计算出十位数的圆周率

除了上述成就外，关孝和和后来的和算学家还独立地探索到许多数学真理，或比西方数学早，或比西方数学晚。比如“笛卡尔圆定理”“马尔法蒂定理”“泰勒展开”“圆周率的计算”“高次方程的近似解”等。特别是在圆周率方面，关孝和的高徒建部贤弘计算到了小数点后41位。据说在和算学家中也有人得出了高次方程的近似解，如1458次方程的解。这些计算都得益于他们能够充分利用被称为“算盘”加“算木”的“计算机”。

将3-5厘米的“算木”放置在“算盘”的方格内用以表示数字。照片上表示的数字是19376（图片：深川英俊）

在日本有一种成见，人们普遍认为“和算”只是小学水平的算术，因此笔者列举了一些“先行事例”，以期打破这种成见。但我更想让人们知道的是，在一个封闭的国度里，人们通过对数学的热爱和钻研使之得以发展。开篇提到的Peter Wong教授是华裔，他关于和算发展的评论让我印象深刻。

“看看中国和亚洲的其他国家吧。没有哪个地方像日本一样，在长达260年的时间里，普通百姓没有被卷入战争。值得庆幸的是，日本人因此能够专注于发展自己的文化。”

福井县鲭江市石部神社展示的算额，问的是人均饮用的花见酒量

标题图片：Peter Wong教授在研究明星轮寺的算额

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