江户少女解开数学难题，算额展示出平民对知识的探求

（系列专题第1篇：《“和算”：在太平盛世蓬勃发展起来的日本数学》）

岐阜县大垣市的明星轮寺至今还保存了江户末期的算额。该算额上记录了两位女性和一位少年解开的数学问题。这是和算参与者不仅仅是成年男性，还有女性和儿童积极参与其中的一个重要证据。

明星轮寺的算额（图片：深川英俊）

明星轮寺的算额上记载的少年少女

明星轮寺的算额由“浅野孝光的学生浅野源十郎等人”于1865年奉纳。该算额上记载的第3个问题由名为“河合泽”的少女解开，当时的她只有16岁。下面是和算及算额研究家、曾荣获保加利亚科学院博士学位的原高中教师深川英俊对该问题的解说及答案。

明星临寺的算额上记载着河合泽所解数学问题的扩大版

河合泽解开的数学问题

“如图，图中的直线上有一个椭圆，且有红、蓝、黄、白四色的圆与此椭圆相接，其中的红白圆分别位于椭圆的两侧并相接。当蓝圆直径最大时，求黄圆的直径。”（该图基于深川的解说绘制，算额上的原图椭圆不是很精确，看起来可能有所不同，但与算额上的问题是一致的）。答案是：将蓝圆的直径放在算盘上除以3。”

深川说：“算额原图最上方的白圆，当蓝圆最大时会消失，因此不应绘出，但答案是正确的。该题的难度相当于现代大学数学专业水平，16岁的少女能解答如此复杂的问题，确实令人惊叹。”此外，算额上向右数的第6个问题是由名为“奥田津”的女性解开（年龄不详），第10个问题由15岁的少年“田边舍次重利”解开。虽然令人遗憾的是我们不知道他们的具体经历，但也可以得知，与成年男性一道，一些女性和少男少女们也在钻研和算，而且实力得到认可，名字也被列入到算额之中。

女性也参与解高次方程式的算额

事实上，这种现象并非大垣市独有。下图的算额是冈山市北区的惣爪八幡宫内保存的算额，由当地算法塾的门人于1861年奉纳。据深川称，画面中央坐着的是老师，弟子们在老师的指导下使用算盘和算木正在解高次方程式。弟子中还包括两名梳着日本发型的女性和注视算盘的少年。左下角还画了一名擤鼻子的武士，颇具趣味。

惣爪八幡宫的算额（图片：深川英俊）

画中的屏风两侧写有以下三个问题：

1. 求面积为85000的正方形的边长
2. 求边长分别为10、17、21的三角形内接圆的直径
3. 求体积为1881676371789154860897069的立方体的边长

现代解法：

1. x²-85000=0，答案为291.5…
2. 使用海伦公式（求得三角形面积S，再通过公式r = 2S/(a+b+c)求出内接圆半径，答案2r=7
3. x³-1881676371789154860897069=0，答案x=123456789

问题2的海伦公式是已知三角形的边长分别为a、b、c，求面积S的公式，即S=√(s(s-a)(s-b)(s-c) )，其中s=(a+b+c)/2。这是现代高中课程教授的内容，当时的和算家们已掌握这个公式。

少年和女性们与武士们一起挑战这些数学问题，使用海伦公式、算盘和算木解决面积和位数非常多的复杂的三次方程，可以说这些算额记载的故事非常珍贵。

《算法少女》，或由医生的女儿编撰

提到《算法少女》，你会想到什么？有些人可能读过小说或漫画，但它的原作是一部大约250年前，即1775年（安永四年）在江户出版的三卷本和算书。作者自称壶中隐者，在序文中写道：“我是来自大阪的医生，这本书是我口述的算术，由女儿平章子整理成书。所以，我想书名中使用‘少女’一词应该是恰如其分的吧。”

活跃在那个时代的和算家会田安明在某篇文章中提到过该书，据他说，他确认了该书作者的实名为千叶桃三，出身于大阪，是居住在江户的一名医生，也是关流（关孝和流派）秘诀皆传的和算爱好者。

《算法少女》下卷的版权页（图片：国立国会图书馆数字档案馆）

让我们看看该书的内容。东大寺学园的前中学数学教师和算研究家小寺裕在《和算书‹算法少女›解读》（筑摩学艺文库）一著中进行了详细介绍。

《算法少女》的开篇介绍了计算圆周率的方法。首先，通过内接正多边形来近似计算的方法，将多边形的边数由4、8、16、……不断增加，当达到正10万余（！）多边形时，便能得出圆周÷直径＝355/113=3.14159202……。然而，即便如此，也仍不够精确，所以在书末传授了用秘术的无穷级数的表示方法，有那么一点显摆的味道。

即使在今天圆周率仍被作为衡量超级计算机性能的标准之一，当时的和算家也将其视其为重要课题，因此有必要在书的开头谈论圆周率，以彰显自己的数学技能。之后，书中还提到了包括等比级数、三角形与内接圆、五次方程式、分数的最小公倍数、组合等各类问题都用日文和汉文详细记录，共有数十道题目，持续到下卷。

小寺审阅了所有问题，分析指出和文(*1)问题大多为初级，汉文问题多为中级以上。虽然书中存在一些数学错误，但也超出了一般和算书的范围。那么，将其整理成书的“章子”到底是一个什么样的少女呢？遗憾的是，除了这本书之外，再无任何线索。小寺表示，会田安明也没有提及过，所以也有人认为她是一个虚构的人物，这至今仍是个未解之谜。围绕着“算法少女”这一本书，会田对千叶桃三评价颇高，但与他同时代的劲敌、和算家藤田贞资却对此书进行了情绪化的激烈批评，甚至为此专门撰写了《算法少女之评》一书。这个神秘的“少女”加剧了两人之间宿怨的升温。

“少女”在小说中大显身手

受这些历史事实的启发，作家远藤宽子将“少女”赋予生命，写成了小说。与和算书同名的小说《算法少女》于1973年由岩崎书店出版，2006年由筑摩学艺文库再版。小说中，主人公“阿秋”是医生之女，受父亲指导学习算术的设定与原作相同。小说描述了她指出一名傲慢的和算道场的年轻武士在算额中的错误，为贫困孩子们开设了教授九九乘法口诀等数目计算法的课堂等情节。

为了创作这部小说，远藤广泛查阅数学史书籍，听取专家的数学解释，了解当时日本的数学背景等等，做了详尽的准备。从这个意义上来讲，这本小说对了解江户中期的人们如何跟和算打交道极具价值。小说还被秋月Meguru绘成漫画版，并于2012年由出版社LEED出版。此外还在2015年被拍成动画片，由外村史郎执导，制作工房赤之女王企画制作。

受江户期和算书《算法少女》启发的小说《算法少女》（筑摩学艺文库）及其漫画版（LEED社）

再看看少年们的卓越表现吧。根据深川的《通过例题了解日本的数学与算额》（森北出版），确认了在现存的算额和记录文献中，来自冈山县、京都府、滋贺县、岐阜县、东京都、千叶县、群马县的9-15岁的15个少年的名字。尤为引人注目的是其问题达到了大学生水平以上。深川认为，算额通常不写年龄，但特别标注就是为了激励年轻才俊。

德国研究人员倍感惊讶

自2023年4月起，安东尼亚·卡莱斯博士作为早稻田大学高等研究所的副教授，开始在日本研究算额，她专攻哲学与科学的相关历史。她对大航海时代基督教传教士在宗教之外所传播的东西进行了探寻，尤其是对欧几里得几何学。她试图寻找欧几里得几何学如何在日本传播开来，却发现并没有相应的线索。这让她感到奇怪，经过调查，她才得知这是因为日本在数学上独立发展出了自己的体系。

安东尼亚·卡莱斯博士（图片：笔者）

在阅读了深川英俊和托尼·罗斯曼（Tony Rothman）合著的《神圣的数学：算额》（英文版、普林斯顿大学出版）等和算关联的书籍后，她确信和算与算额的发展不仅仅依赖于专家，还包括普通民众组成的“人际合作网”。

“这样的‘人际合作网’在西方是不存在的。而在日本，农民、孩子和女性都是其中的参与者，且持续了250多年。你能相信吗？”

卡莱斯博士决心来日本亲眼见识并研究算额，便成功应聘了早稻田大学高等研究所的公开招募，当时敲开大门的研究主题就是“日本的算额与欧几里得几何学：切线或平行线的历史？”（“Japanese sangaku and Euclidean geometry: A history of tangents or parallel lines?”）。

研究任期为三年。她四处奔忙收集有英语解说之类的算额资料，希望将这一传统介绍给全世界的研究者。她与深川会面，并获得了他提供的算额照片和相关资料。她还访问了长崎县、岩手县、三重县等地，当然也查看了明星轮寺的算额。卡莱斯博士发表感想说：

“女性、少年和少女们与男性一起投身于知识探索的作品是美丽的。这些作品让我非常感动。”

标题图片：惣爪八幡宮的算额（深川英俊）

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